Inauguramos nuestro blog sobre un tema curioso relacionado con la geometría proyectiva. Es el llamado teorema de reciprocidad polar, formulado por Gaspard Monge, conocido como el padre de la geometría descriptiva, además de uno de los creadores y precursores del sistema diédrico.

Este teorema lo hemos simplificado a lo siguiente: sean en un plano una circunferencia y una recta n. Trazamos desde un punto cualquiera P de esa recta las dos tangentes a la circunferencia y la recta p que pasa por los dos puntos de contacto.
Si el punto P se mueve sobre la recta n, arrastrando con él las dos tangentes sin que dejen de tocar a la circunferencia, los dos puntos de contacto cambiarán de posición, así como la recta p que los une.
Pero esta recta pasará siempre por un mismo punto N, que se encuentra sobre la perpendicular trazada desde el centro de la circunferencia a la recta n.

La demostración de que este punto N siempre está fijo nos lleva al espacio tridimensional.

Generamos una esfera mediante la revolución de la circunferencia alrededor de cualquiera de sus diámetros. Llamamos plano base a nuestro plano de partida, que contiene el centro de la esfera y la recta n.
Existen dos planos simétricos respecto al plano base que son tangentes a la esfera en T y S y pasan por la recta n. El conjunto de las rectas que pasan por un punto P situado en n y que son tangentes a la esfera forma un cono que toca a la esfera en una circunferencia de contacto determinada. Por tanto todas las circunferencias de contacto de los conos cuyo vértice esté en la recta n pasan por S.
También pasarán por su simétrico T respecto al plano base, y entonces ST es una cuerda común a todas las circunferencias de contacto de los conos tangentes a la esfera, cuyos vértices estén en n.La proyección ortogonal sobre el plano base proyecta las circunferencias de contacto sobre cuerdas de la circunferencia de partida, y ST se proyecta en un punto N, el mismo para todas las puntos P de n, que es la proposición que queríamos demostrar, en el caso de que n sea exterior a l